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<!DOCTYPE html>

<title>Smale-Probleme</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Smale-Probleme</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die Liste der <b>Smale-Probleme</b> wurde von <a href="Stephen_Smale" title="Stephen Smale">Stephen Smale</a> 1998 im <a href="Mathematical_Intelligencer" class="mw-redirect" title="Mathematical Intelligencer">Mathematical Intelligencer</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> als Antwort auf eine Anfrage von <a href="Wladimir_Arnold" class="mw-redirect" title="Wladimir Arnold">Wladimir Arnold</a> aufgestellt, eine Nachfolgeliste der Liste offener Probleme von <a href="David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a> von 1900 aufzustellen (<a href="Hilbertsche_Probleme" title="Hilbertsche Probleme">hilbertsche Probleme</a>).

</p><p>Die Liste von Stephen Smale umfasst 18 damals ungelöste Probleme. Entsprechend seiner Arbeitsrichtung sind dabei viele Probleme aus dem Gebiet <a href="Dynamisches_System" title="Dynamisches System">Dynamischer Systeme</a> und auch solche, die zur Informatik gehören (zum Beispiel <a href="Komplexit%C3%A4tstheorie" title="Komplexitätstheorie">Komplexitätstheorie</a> über reellen oder komplexen Zahlen).

</p><p>Zwei der Probleme tauchen schon in Hilberts Liste auf (<a href="Riemannsche_Vermutung" title="Riemannsche Vermutung">Riemannsche Vermutung</a> und der Teil von Hilberts 16. Problem zur Anzahl und Lage von <a href="Grenzzyklus" title="Grenzzyklus">Grenzzyklen</a> nach <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a>), und Problem 5 von Smale hat Bezüge zu Verallgemeinerungen von Hilberts 10. Problem. Einige sind eher einem Forschungsprogramm vergleichbar, etwa zur Erweiterung der ökonomischen Gleichgewichtstheorie um dynamische Aspekte oder die Frage der Grenzen der Intelligenz. Vier seiner Probleme stimmen mit den <a href="Millennium-Probleme" title="Millennium-Probleme">Millennium-Problemen</a> überein (<a href="Poincar%C3%A9-Vermutung" title="Poincaré-Vermutung">Poincaré-Vermutung</a>, <a href="P-NP-Problem" title="P-NP-Problem">P-NP-Problem</a>, <a href="Navier-Stokes-Gleichung" class="mw-redirect" title="Navier-Stokes-Gleichung">Navier-Stokes-Gleichung</a>, Riemannvermutung).

</p><p>Problem 2, 14 und 17 gelten als gelöst, für andere gibt es Teillösungen. Die Probleme gelten überwiegend als äußerst schwierig.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liste_der_Probleme">Liste der Probleme</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_1">Problem 1</h3></div>

<p><a href="Riemannsche_Vermutung" title="Riemannsche Vermutung">Riemannsche Vermutung</a>, das bekannteste offene Problem der Mathematik, von zentraler Bedeutung in der Primzahltheorie. Hilberts achtes Problem.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_2">Problem 2</h3></div>

<p><a href="Poincar%C3%A9-Vermutung" title="Poincaré-Vermutung">Poincaré-Vermutung</a>. Gelöst von <a href="Grigori_Perelman" class="mw-redirect" title="Grigori Perelman">Grigori Perelman</a> nach Vorarbeit von <a href="Richard_S._Hamilton" title="Richard S. Hamilton">Richard S. Hamilton</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_3">Problem 3</h3></div>

<p><a href="P-NP-Problem" title="P-NP-Problem">P-NP-Problem</a>, das bekannteste offene Problem der Informatik und von zentraler, auch praktischer Bedeutung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_4">Problem 4</h3></div>

<p>Das Problem handelt von den ganzzahligen Nullstellen eines ganzzahligen Polynoms in einer Variablen und ob diese durch eine aus der Komplexitätstheorie von <a href="Michael_Shub" title="Michael Shub">Michael Shub</a> und Smale eingeführte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau =\tau (f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =\tau (f)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ff0ab144e8b72bb58d6413c0f9800832e48b85c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \tau =\tau (f)}" loading="lazy"></span>-Invariante (die vom Polynom f abhängt) beschränkt sind (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span>-Vermutung von Shub und Smale)<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span>-Invariante ist dabei die minimale Anzahl von Schritten um <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> rekursiv mit elementaren arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation) beginnend mit der Variablen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> aufzubauen. Ist die Anzahl verschiedener ganzzahliger Nullstellen von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau ^{c}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau ^{c}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/876a2aa4eadea44538954162f643de5ac58d07c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.202ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \tau ^{c}}" loading="lazy"></span> mit einer universellen Konstante <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"></span> beschränkt? Nach Smale und Shub würde eine positive Antwort bedeuten, dass das Entscheidungsproblem für den <a href="Hilbertscher_Nullstellensatz" title="Hilbertscher Nullstellensatz">Hilbertschen Nullstellensatz</a> unlösbar ist und damit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P\neq NP}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\neq NP}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91730efe5e62816c7c61cdc6eafc8e77e924540e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.653ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle P\neq NP}" loading="lazy"></span> für Berechnungen über den komplexen Zahlen gilt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_5">Problem 5</h3></div>

<p>Das Problem betrifft <a href="Diophantische_Gleichung" title="Diophantische Gleichung">diophantische</a> polynomiale Kurven <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01ede27471a9cc9a0c5eb6e1ebdc7afc8a086543.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.868ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=0}" loading="lazy"></span> (diophantisch heißt über den ganzen Zahlen definiert) in zwei Variablen von maximalem Grad <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"></span>. Kann die Existenz einer Lösung in einer Zeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{s^{c}}}">

<msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{s^{c}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/625313b92a10a4fc64e64345cf8905704d344aef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.908ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{s^{c}}}" loading="lazy"></span> (also exponentieller Zeit) festgestellt werden? Ist die Frage der Existenz einer Lösung in der Klasse <a href="NP_(Komplexit%C3%A4tsklasse)" title="NP (Komplexitätsklasse)">NP</a>?

</p><p>Dabei ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"></span> eine universelle Konstante und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=s(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=s(f)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a6d7e6113800cfcd0f4c05342db029e52564a0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.367ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s=s(f)}" loading="lazy"></span> ist ein Maß für die Größe des Polynoms (eine Höhenfunktion, in deren Definition die Koeffizienten des Polynoms eingehen).

</p><p>Zur Definition der Höhenfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s(f)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4aa15fe9ab10b63ac2d791d4c9bec72c8b48a860.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s(f)}" loading="lazy"></span>:

</p>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s(f)=\sum _{|\alpha |\leq d}\max(\log |a_{\alpha }|,1)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7a75ff65ec253e5f7f71f17b7797abb0fa4cbbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:27.267ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle s(f)=\sum _{|\alpha |\leq d}\max(\log |a_{\alpha }|,1)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=\sum _{|\alpha |\leq d}a_{\alpha }x^{\alpha _{1}}y^{\alpha _{2}},\;\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2}),\;|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2},\;\alpha _{i}\geq 0.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a36488223f33e8b0d960b02c7a625976ea7e93ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:61.982ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=\sum _{|\alpha |\leq d}a_{\alpha }x^{\alpha _{1}}y^{\alpha _{2}},\;\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2}),\;|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2},\;\alpha _{i}\geq 0.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Smale vermutet, dass das Problem sehr schwierig ist, da das verwandte 10. Hilbertsche Problem, also das Entscheidungsproblem der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen ohne Einschränkung der Anzahl der Variablen, nach <a href="Juri_Wladimirowitsch_Matijassewitsch" title="Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch">Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch</a> unlösbar ist.

</p><p>Ein anderes Problem aus diesem Umfeld ist, ob es einen Algorithmus gibt zu entscheiden, ob eine polynomiale Gleichung in rationalen Zahlen lösbar ist (für beliebige Anzahl von Variablen). Für ganzzahlige Polynome ist das das 10. Hilbert-Problem.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_6">Problem 6</h3></div>

<p>Das Problem, das von <a href="Aurel_Wintner" title="Aurel Wintner">Aurel Wintner</a> 1941 in seinem Lehrbuch der Himmelsmechanik gestellt wurde, fragt nach der Endlichkeit der Anzahl relativer Gleichgewichtspunkte im <a href="N-K%C3%B6rper-Problem" title="N-Körper-Problem">n-Körper-Problem</a> der <a href="Himmelsmechanik" title="Himmelsmechanik">Himmelsmechanik</a> für mehr als drei Körper. Relative Gleichgewichtspunkte sind dabei keine Fixpunkte, bewegen sich aber auf einfachen Bahnen (gleichförmige Rotation um ein Zentrum). Im Fall des eingeschränkten Dreikörperproblems gibt es fünf (die <a href="Lagrange-Punkte" title="Lagrange-Punkte">Lagrange-Punkte</a>). Die Endlichkeit im Fall N=3 wurde von Wintner gezeigt,<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> N=4 von M. Hampton und R. Moeckel<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und für N=5 wurde die Endlichkeit 2012 von A. Albouy und V. Kaloshin gezeigt<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Für N > 5 ist das Problem offen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_7">Problem 7</h3></div>

<p>Das Problem handelt von der Verteilung von Punkten auf der 2-Sphäre unter dem Einfluss eines Potentials. Speziell fragte Smale nach einem Algorithmus dafür, N Punkte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"></span> auf der Sphäre zu finden, deren Wechselwirkungspotential <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{N}(x)=\sum _{1\leq i<j\leq N}\log \left({\frac {1}{r_{ij}}}\right)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{N}(x)=\sum _{1\leq i<j\leq N}\log \left({\frac {1}{r_{ij}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad748dbe4a6909281a5cff166f5baa9d41d0a07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:26.788ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle V_{N}(x)=\sum _{1\leq i<j\leq N}\log \left({\frac {1}{r_{ij}}}\right)}" loading="lazy"></span> ist (mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{ij}=|x_{i}-x_{j}|}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{ij}=|x_{i}-x_{j}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c24824855b51bca6beac494e44a7793ab9120ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.127ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle r_{ij}=|x_{i}-x_{j}|}" loading="lazy"></span>), so dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{N}(x)-V_{\mathrm {min} }\leq c\log N}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{N}(x)-V_{\mathrm {min} }\leq c\log N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/981874c26ba9f8b6ff1ac3c3dd774b0943050d43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.269ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V_{N}(x)-V_{\mathrm {min} }\leq c\log N}" loading="lazy"></span> ist mit einer Konstanten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{\mathrm {min} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{\mathrm {min} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/daa343b23c4692d29ec9ebf7963c07cba43496d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.328ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{\mathrm {min} }}" loading="lazy"></span> dem Minimum des Potentials bei Variation über alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"></span>. Der Algorithmus sollte bezüglich der Haltezeit polynomial von N abhängen. Statt eines logarithmischen Potentials kann auch das Coulombpotential genommen werden (so dass das Problem dem der Anordnung von N Elektronen auf der Sphäre entspricht, <a href="Thomson-Problem" title="Thomson-Problem">Thomson-Problem</a>) oder Potentiale mit anderen Potenzgesetzen. Das Problem entstand nach Smale aus seiner Zusammenarbeit mit Michael Shub (Suche nach einem für einen Homotopiealgorithmus beim <a href="Fundamentalsatz_der_Algebra" title="Fundamentalsatz der Algebra">Fundamentalsatz der Algebra</a> geeigneten Start-Polynom), es ist aber wie erwähnt Teil eines alten Kreises von Problemen über <i>gleichmäßige</i> Punktverteilungen auf der Sphäre.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Dies ist auch eine algorithmische Version des Fekete-Problems (<a href="Michael_Fekete" title="Michael Fekete">Michael Fekete</a> 1923). Die entsprechenden Punkte, die die Energie minimalisieren, heißen auch Fekete-Punkte.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_8">Problem 8</h3></div>

<p>Einführung der Dynamik (Anpassung von Preisen) in der ökonomischen Gleichgewichtstheorie (<a href="Arrow-Debreu-Gleichgewichtsmodell" title="Arrow-Debreu-Gleichgewichtsmodell">Arrow-Debreu-Gleichgewichtsmodell</a>). Das Problem entstand aus Smales eigener Beschäftigung mit mathematischer Ökonomie.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_9">Problem 9</h3></div>

<p>Ein Problem der <a href="Lineare_Programmierung" class="mw-redirect" title="Lineare Programmierung">linearen Programmierung</a>: Gibt es einen polynomzeitlichen Algorithmus über den reellen Zahlen für die Feststellung der Lösbarkeit des linearen Systems von Ungleichungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ax\geq b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ax\geq b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2123ee2e56394a9b16f0932e3dacebb0bcddbcf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.169ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle Ax\geq b}" loading="lazy"></span> ?

</p><p>Das Problem ist eine Entscheidbarkeits-Version der Frage nach einem Lösungsalgorithmus des entsprechenden Systems in der linearen Programmierung (wo zusätzlich eine Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle cx}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle cx}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7680adbe59582bc83c94425444f4f446e39c2ccb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.337ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle cx}" loading="lazy"></span> maximiert werden soll).

</p><p>Der <a href="Simplex-Algorithmus" class="mw-redirect" title="Simplex-Algorithmus">Simplex-Algorithmus</a> löst zwar beide Probleme, ist aber im schlechtesten Fall exponentiell langsam (auch wenn er im Mittel polynomial ist nach <a href="Karl_Heinz_Borgwardt" title="Karl Heinz Borgwardt">Karl Heinz Borgwardt</a>). Trotzdem gibt es polynomielle Lösungsalgorithmen für Probleme der linearen Programmierung, dazu zählen z. B. die <a href="Ellipsoidmethode" title="Ellipsoidmethode">Ellipsoidmethode</a> oder die <a href="Innere-Punkte-Methode" class="mw-redirect" title="Innere-Punkte-Methode">Innere-Punkte-Methode</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_10">Problem 10</h3></div>

<p>Das allgemeine Schließungslemma (Closing Lemma) in der Theorie dynamischer Systeme. Für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd24bae0d7570018e828e19851902c09c618af91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{1}}" loading="lazy"></span> ist das <a href="Pughs_Schlie%C3%9Fungslemma" title="Pughs Schließungslemma">Pughs Schließungslemma</a> (<a href="Charles_Pugh" class="mw-redirect" title="Charles Pugh">Charles Pugh</a>, 1967). Gefragt ist nach der Lösung für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{r},r>1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{r},r>1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b08805effe3352518466f78c9617fd0e67eefdc2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.115ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{r},r>1}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Sei p ein <a href="Wandernder_Punkt" title="Wandernder Punkt">nicht-wandernder Punkt</a> des <a href="Diffeomorphismus" title="Diffeomorphismus">Diffeomorphismus</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S\colon M\to M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S\colon M\to M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9397cf5ce184a4bcc3f18581edefd6e603d6c37c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.032ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S\colon M\to M}" loading="lazy"></span> einer kompakten <a href="Mannigfaltigkeit" title="Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeit</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span>. Kann S beliebig genau <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{r}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{r}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdefeb0e26e08fdf32d93d61a5382c800515ddf2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.772ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle C^{r}}" loading="lazy"></span>-approximiert werden<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> durch einen Diffeomorphismus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon M\to M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon M\to M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb35984085b2f5be58b3b38a6e85bd75a448ea1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon M\to M}" loading="lazy"></span>, so dass p ein periodischer Punkt von T ist (das heißt Fixpunkt einer Iterierten von T)?

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_11">Problem 11</h3></div>

<p>Sind eindimensionale dynamische Systeme im Allgemeinen hyperbolisch?

</p><p>Dabei ist ein durch einen Diffeomorphismus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> gegebenes dynamisches System <a href="Hyperbolischer_Fixpunkt" title="Hyperbolischer Fixpunkt">hyperbolisch</a> in einem Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span>, wenn die Ableitung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle DT(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle DT(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/130f66330360de9d0c5d6ea0596df561bcb63453.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.7ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle DT(x)}" loading="lazy"></span> keinen Eigenwert mit Absolutwert gleich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"></span> hat. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"></span> sei der Abschluss der Menge <a href="Wandernder_Punkt" title="Wandernder Punkt">nicht-wandernder Punkte</a> des dynamischen Systems. Ein dynamisches System ist hyperbolisch (erfüllt Axiom A) wenn die periodischen Punkte dicht in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"></span> liegen und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"></span> hyperbolisch ist.

</p><p>Smale formulierte das Problem genauer so: Sei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63b7b86e21a2e3f8127f4f5e80709f88a9d0bc23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.64ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }" loading="lazy"></span> ein komplexes Polynom. Betrachtet wird das durch die Iterationen von Abbildungen mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> definierte diskrete dynamische System <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{i}=T(z_{i-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{i}=T(z_{i-1})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebb0ced80284110a61810056171b215029f9f662.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z_{i}=T(z_{i-1})}" loading="lazy"></span> Kann <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> durch ein Polynom gleichen Grades approximiert werden, so dass jeder kritische Punkt gegen einen periodischen Punkt strebt, der eine Senke ist?

</p><p>Ein periodischer Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> ist ein Fixpunkt einer Iterierten von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{k}(p)=p}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{k}(p)=p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1e88aa522f5b0452195f86f4c821333930dbd2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.055ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T^{k}(p)=p}" loading="lazy"></span>. Ein kritischer Punkt ist ein Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial z}}=0}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial z}}=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63aa361437f44e17aef9913320ceeae03ea9c43e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.051ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial z}}=0}" loading="lazy"></span>, eine Senke ist ein Fixpunkt von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|{\frac {\partial T}{\partial z}}\right|<1}">

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\frac {\partial T}{\partial z}}\right|<1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33d4692995bf1b30d4b89988756d67f03b97b36e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.345ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \left|{\frac {\partial T}{\partial z}}\right|<1}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Das so gestellte Problem ist selbst für Polynome vom Grad 2 ungelöst (hier ist es äquivalent zu der Aussage, dass jede Komponente des

Inneren der <a href="Mandelbrot-Menge" title="Mandelbrot-Menge">Mandelbrot-Menge</a> hyperbolisch ist).

</p><p>Eine äquivalente Formulierung aus der komplexen Dynamik ist: Kann eine polynomiale Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> durch eine hyperbolische Abbildung genähert werden?

</p><p>Nach Smale gab sein Student <a href="John_Guckenheimer" title="John Guckenheimer">John Guckenheimer</a> in seiner Dissertation 1970 zwar eine positive Antwort auf das Problem, später stellte sich aber heraus, dass sein Beweis eine Lücke enthielt. Ebenso gab Smales Doktorand <a href="Zbigniew_Nitecki" title="Zbigniew Nitecki">Zbigniew Nitecki</a> 1969 eine positive Antwort für den reellen Fall (Abbildung des Einheitsintervalls), der sich auch später als fehlerhaft herausstellte.

</p><p>M. Jakobson lieferte eine Lösung für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd24bae0d7570018e828e19851902c09c618af91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{1}}" loading="lazy"></span>-Näherungen im reellen Fall (1971). 1997 löste <a href="Mikhail_Lyubich" title="Mikhail Lyubich">Mikhail Lyubich</a> und unabhängig Grzegorz Swiatek und J. Graczyk den reellen Fall für quadratische Polynome. Den allgemeinen Fall reeller Polynome lösten Oleg Kozlovski, <a href="Weixiao_Shen" class="mw-redirect" title="Weixiao Shen">Weixiao Shen</a>, <a href="Sebastian_van_Strien" title="Sebastian van Strien">Sebastian van Strien</a> 2007<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_12">Problem 12</h3></div>

<p>Existenz von Zentralisatoren von <a href="Diffeomorphismus" title="Diffeomorphismus">Diffeomorphismen</a>: Hat ein Diffeomorphismus einer kompakten <a href="Mannigfaltigkeit" title="Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeit</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> eine <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{r}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{r}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdefeb0e26e08fdf32d93d61a5382c800515ddf2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.772ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle C^{r}}" loading="lazy"></span>-Näherung (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\geq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\geq 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b1e87b13257cf2fecf01cadc7ad9ca50c6fedfd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.31ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r\geq 1}" loading="lazy"></span>) durch einen Diffeomorphismus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon M\to M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon M\to M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb35984085b2f5be58b3b38a6e85bd75a448ea1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon M\to M}" loading="lazy"></span>, der nur mit seinen Iterierten kommutiert (<a href="Zentralisator" title="Zentralisator">Zentralisator</a>)? Für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=\dim(M)=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=\dim(M)=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef120171b941be13d325d0679c36d6983ca6b8e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.881ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n=\dim(M)=1}" loading="lazy"></span> von <a href="Nancy_Kopell" title="Nancy Kopell">Nancy Kopell</a> in ihrer Dissertation bei Smale bewiesen. Selbst in zwei Dimensionen offen.

</p><p>Im <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd24bae0d7570018e828e19851902c09c618af91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{1}}" loading="lazy"></span>-Fall 2009 von <a href="Christian_Bonatti" title="Christian Bonatti">Christian Bonatti</a>, Sylvain Crovisier und <a href="Amie_Wilkinson" title="Amie Wilkinson">Amie Wilkinson</a> gelöst.<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_13">Problem 13</h3></div>

<p>Gibt es eine obere Schranke für die Anzahl der Grenzzyklen im ebenen dynamischen System:

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=P(x,y),\qquad {\frac {dy}{dt}}=Q(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a9112fafa2127fab9667624ee724558841f8397.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:32.706ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=P(x,y),\qquad {\frac {dy}{dt}}=Q(x,y)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dabei sind <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P,Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P,Q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94b3c5b21ee2d8a12253a952e4c4b1733ceb0735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.618ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P,Q}" loading="lazy"></span> Polynome von maximalem Grad <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"></span>. Gefragt ist nach einer oberen Schranke <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{q}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b32f0732d76d6aab52ed9bc2a6dcdacfb3a6cd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.207ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle d^{q}}" loading="lazy"></span> für die Anzahl der Grenzzyklen mit einer universellen Konstante <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span>. Dies ist eine Konkretisierung des zweiten Teils von Hilberts 16. Problem. Smale hielt das neben der Riemannvermutung für das am schwersten greifbare (<i>most elusive</i>) der Probleme seiner Liste.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_14">Problem 14</h3></div>

<p>Existenz des <a href="Lorenz-Attraktor" title="Lorenz-Attraktor">Lorenz-Attraktors</a>. Bewiesen 2002 von <a href="Warwick_Tucker" title="Warwick Tucker">Warwick Tucker</a> mit <a href="Intervallarithmetik" title="Intervallarithmetik">Intervallarithmetik</a>.<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_15">Problem 15</h3></div>

<p>Die Frage der Existenz glatter Lösungen (für alle positiven Zeiten) der <a href="Navier-Stokes-Gleichung" class="mw-redirect" title="Navier-Stokes-Gleichung">Navier-Stokes-Gleichung</a> (Anfangswertproblem für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"></span>) in drei Dimensionen (genauer in einem Gebiet des <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"></span>) und deren Eindeutigkeit. Für zwei Dimensionen und drei Dimensionen bei genügend kurzen Zeiten lautet die Antwort ja. Eine Lösung des Problems wäre wahrscheinlich ein großer Schritt zum mathematischen Verständnis der <a href="Turbulente_Str%C3%B6mung" title="Turbulente Strömung">Turbulenz</a>. Dies ist auch eines der Millennium-Probleme.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_16">Problem 16</h3></div>

<p>Die <a href="Jacobi-Vermutung" title="Jacobi-Vermutung">Jacobi-Vermutung</a> von <a href="Ott-Heinrich_Keller" title="Ott-Heinrich Keller">Ott-Heinrich Keller</a> (1939) (siehe auch den Artikel zu Keller). Sei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f62344d0a45e568e5dba7e0b7de145aaec8a509f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.72ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}" loading="lazy"></span> eine polynomiale Abbildung, deren <a href="Jacobideterminante" class="mw-redirect" title="Jacobideterminante">Jacobideterminante</a> nirgends verschwindet. Ist die Abbildung dann <a href="Bijektion" class="mw-redirect" title="Bijektion">bijektiv</a>? Ein sehr bekanntes offenes Problem mit vielen Beweisversuchen im Lauf der Zeit.<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_17">Problem 17</h3></div>

<p>Können die Nullstellen eines Systems aus n komplexen polynomialen Gleichungen in n Unbekannten durch einen Algorithmus gefunden werden, der im Mittel in polynomialer Zeit operiert. Dies ist möglich, wie Carlos Beltrán und Luis Miguel Pardo 2008 bewiesen.<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Der Algorithmus von Beltrán und Pardo war ein <a href="Las-Vegas-Algorithmus" title="Las-Vegas-Algorithmus">Las-Vegas-Algorithmus</a>, deterministische Versionen fanden <a href="Felipe_Cucker" title="Felipe Cucker">Felipe Cucker</a> und <a href="Peter_B%C3%BCrgisser" title="Peter Bürgisser">Peter Bürgisser</a> 2011<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (mit Laufzeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N^{O(\log \log N)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N^{O(\log \log N)}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20d9e219aa12d11b582bf4b10ac29fcc70522197.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.325ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N^{O(\log \log N)}}" loading="lazy"></span>) und Pierre Lairez (im Mittel in polynomialer Zeit)<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Das Problem gilt somit als gelöst.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Problem_18">Problem 18</h3></div>

<p>Grenzen der künstlichen und menschlichen Intelligenz. Er bezieht sich dabei auf Überlegungen von <a href="Roger_Penrose" title="Roger Penrose">Roger Penrose</a>, wozu nach Smale aber zunächst bessere mathematische Modelle der Intelligenz (sowohl für Computer als auch für das Gehirn) entwickelt werden müssten. Für den Aspekt des Lösens von Problemen mit dem Computer wurde bisher das Turingmaschinen-Modell favorisiert. <a href="Lenore_Blum" title="Lenore Blum">Lenore Blum</a>, F. Cucker, Michael Shub und Smale (BCCS) sprachen sich für ein besseres Modell beim Rechnen mit reellen Zahlen aus.<sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite-bracket">[</span>15<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Eine noch engere Eingrenzung ist nach Smale das Problem des Lösens von Systemen polynomialer Gleichungen über einem Körper, etwa den reellen Zahlen. Nach Smale hat das Ähnlichkeit zur Trennung zwischen Digital- und Analogcomputern (diskrete und stetige Probleme) und auch beim Gehirn und anderen natürlichen Systemen (Quantenmechanik) sieht er eher Ähnlichkeiten zu Analogcomputern und ist aus diesem Grund wie Penrose skeptisch bei der Argumentation der Begrenztheit intelligenter Systeme über den <a href="G%C3%B6delscher_Unvollst%C3%A4ndigkeitssatz" title="Gödelscher Unvollständigkeitssatz">Gödelschen Unvollständigkeitssatz</a>. Modelle der Berechnung mit reellen Zahlen (im Rahmen von Erweiterungen der Komplexitätstheorie) sollten in diesem Zusammenhang nach Smale auch zufällige Komponenten berücksichtigen und Näherungen bei In- und Output. Neben reinem Problemlösen ist Wechselwirkung mit der Umgebung (Lernen) ein wichtiger Aspekt der Intelligenz.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Ungel%C3%B6ste_Probleme_der_Mathematik" title="Ungelöste Probleme der Mathematik">Ungelöste Probleme der Mathematik</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/SmalesProblems.html">Weisstein, Eric W.: Smale's Problems, MathWorld</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cityu.edu.hk/ma/doc/people/smales/pap104.pdf">Smale, Mathematical problems for the next century, pdf</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Smale, <i>Mathematical problems for the next century</i>, Mathematical Intelligencer, 1998, Nr. 2, S. 7–15, nachgedruckt in V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, B. Mazur: Mathematics: Frontiers and Perspectives 2000, American Mathematical Society 2000</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Shub, Smale, On the intractability of Hilbert's Nullstellensatz and an algebraic version of "NP≠P ?", Duke Math. J., Band 81, 2005, S. 47–54</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Wintner, Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton UP 1941</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Hampton, Moeckel, Finiteness of relative equilibria in the four body problem, Inv. Math., Band 163, 2006, S. 289–312</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Albouy, Kaloshin, Finiteness of central configurations of five bodies in the plane, Annals of Mathematics, Band 176, 2012, S. 535–588</span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">C. Beltrán: The State of the Art in Smale's 7th Problem, Foundations of Computational Mathematics, Budapest 2011, London Math. Society Lecture Note Series 403 (Hrsg. F. Cucker u. a.)</span>

</li>

<li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Das heißt mit Ableitungen, die bis zur Ordnung r stetig sind</span>

</li>

<li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">O. Kozlovski, W. Shen, S. van Strien: Density of hyperbolicity in dimension one, Annals of Mathematics, Band 166, 2007, S. 145–182</span>

</li>

<li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson <i>The C1-generic diffeomorphism has trivial centralizer</i>, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 109, 2009, 185–244</span>

</li>

<li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text">Tucker, A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem, Found. Comput. Math., Band 2, 2002, S. 53–117</span>

</li>

<li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/JacobianConjecture.html">Jacobi-Vermutung bei Mathworld</a></span>

</li>

<li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text">Beltran, Pardo, On Smale's 17th Problem: a Probabilistic Positive Solution, Found. Comput. Math., Band 8, 2008, S. 1–43</span>

</li>

<li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-13">↑</a></span> <span class="reference-text">Cucker, Bürgisser, On a problem posed by Steve Smale, Annals of Mathematics, Band 174, 2011, S. 1785–1836</span>

</li>

<li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-14">↑</a></span> <span class="reference-text">Lairez, A deterministic algorithm to compute approximate roots of polynomial systems in polynomial average time, Foundations of Computational Mathematics 2016</span>

</li>

<li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-15">↑</a></span> <span class="reference-text">Blum, Cucker, Shub, Smale, Complexity and real computation, Springer 1997</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>